3.4.1 PUNTOS DE INFLEXIÓN

Puntos estacionarios.

 Procedemos entonces, tras haber establecido ciertos conceptos básicos en la sección anterior, a resolver el problema

 Maximizarsujeta a :f (x)g(x) ≤ b(PRD)

donde suponemos que se dan condiciones de diferenciabilidad sobre f y g y que el conjunto D es abierto. En esta situación, tenemos aseguradas ciertas condiciones de diferenciabilidad sobre la función de Lagrange L. Empezaremos definiendo el concepto de punto estacionario de Kuhn-Tucker a partir de L. Tras ello, estudiaremos su relación con las soluciones del problema (PRD). Como veremos, serán necesarias condiciones de convexidad en los teoremas de suficiencia, y no así en los de necesariedad (donde, eso sí, hará falta incluir cualificaciones de restricciones).

Así pues, definimos

supuesto que x0 es un punto factible:

Una  vez  definido  este  concepto,  veamos  seguidamente  los  teoremas  que  lo relacionan con las soluciones del problema (PRD). Empezaremos dando el teorema de condiciones necesarias, es decir, el teorema en el que se establecen qué condiciones necesariamente deben verificar los óptimos de (PRD).

Como se observa, gracias a la formulación de punto estacionario de Kuhn-Tucker (4), este teorema afirma que, si se verifica la cualificación de restricciones de independencia lineal en x0, entonces necesariamente todo óptimo local del problema es un punto estacionario   de   Kuhn-Tucker.   Existe   otro   concepto   de   punto   estacionario   (punto estacionario de Fritz-John) más general que el de Kuhn-Tucker, que no necesita de la cualificación de restricciones para que se establezca esta condición necesaria.

 Este  teorema  admite  exactamente  la  misma  formulación  para  el  problema  de mínimo,  teniendo  simplemente  en  cuenta  las  definiciones  de  punto  estacionario  para mínimo. Así, por ejemplo, la condición quedaría:

∇f (x ) + ∑ ëi∇gi (x ) = 0 .00i∈I

 Pasamos ahora a dar el teorema de condiciones suficientes, es decir, el teorema que afirma  bajo  qué  condiciones  un  punto  estacionario  de  Kuhn-Tucker  es  máximo  del problema. Ya se ha comentado que hace falta en este caso exigir condiciones de convexidad

sobre las funciones del problema. Realmente, basta con unas suposiciones un poco más suaves que la convexidad global, si bien aquí no vamos a especificarlas:

24 sobre las funciones del problema. Realmente, basta con unas suposiciones un poco más suaves que la convexidad global, si bien aquí no vamos a especificarlas

 Este teorema admite una formulación similar para el problema de mínimo, con las correspondientes definiciones de los puntos estacionarios, y suponiendo que la función f sea convexa.

 Si observamos con detenimiento las condiciones de punto estacionario que hemos desarrollado  en  esta  sección,  podremos  ver  su analogía con el caso en el que existan restricciones de igualdad. En concreto, desde un punto de vista intuitivo, el proceso se podría interpretar de la siguiente forma: en primer lugar, se identifican las restricciones activas en el punto en cuestión. Posteriormente, se toman las condiciones de primer orden para problemas con restricciones de igualdad, teniendo en cuenta sólo las mencionadas restricciones activas (que, en el punto bajo estudio, se pueden considerar de igualdad). Finalmente, se añade la condición adicional de no negatividad sobre los multiplicadores óptimos, que, según vimos previamente, garantizan que la función objetivo no mejora al moverse hacia el interior relativo de las restricciones activas.